线性代数示例

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

解题步骤 2.2.1.1.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

解题步骤 2.2.1.2

乘以 $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 2.2.1.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

解题步骤 2.2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

解题步骤 2.2.2

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

解题步骤 2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 + 1}{18}$

解题步骤 2.2.5

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 5}{18}$

解题步骤 2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{18}$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 5

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 7

将 $\frac{18}{5}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

解题步骤 8

将 $- \frac{18}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 9.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $- \frac{18}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.1.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.1.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.1.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{- 6}{5}$ 和 $4$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.4

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

将 $- \frac{18}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.5.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $6$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.5.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.5.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.6

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.7.1

将 $- \frac{18}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.7.2

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.7.3

从 $- 18$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.7.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.7.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.8

组合 $\frac{- 6}{5}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.9

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.10.1

将 $- \frac{18}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

解题步骤 9.10.2

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

解题步骤 9.10.3

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

解题步骤 9.10.4

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

解题步骤 9.10.5

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

解题步骤 9.10.6

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

解题步骤 9.11

将 $\frac{- 9}{5}$ 乘以 $\frac{- 1}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

解题步骤 9.12

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

解题步骤 9.13

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$

线性代数 示例

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